Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang memiliki bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat adalah parabola.
Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Berikut adalah beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta penyelesaiannya:
Soal 1: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0.
Penyelesaian:
Kita dapat menggunakan rumus kuadratik untuk menyelesaikan persamaan ini:
x = / 2a
Dalam kasus ini, a = 1, b = -5, dan c = 6.
x = / (2 * 1)
x = / 2
x = / 2
x = (5 ± 1) / 2
Jadi, akar-akarnya adalah:
x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 – 1) / 2 = 4 / 2 = 2
Soal 2: Tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat 2x² + 4x – 1 = 0.
Penyelesaian:
Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 diberikan oleh rumus D = b² – 4ac.
Dalam kasus ini, a = 2, b = 4, dan c = -1.
D = 4² – 4 2 (-1)
D = 16 + 8
D = 24
Jadi, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah 24.
Soal 3: Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat x² – kx + 8 = 0 adalah 2, tentukan nilai k.
Penyelesaian:
Jika salah satu akar adalah 2, maka substitusikan x = 2 ke dalam persamaan kuadrat:
2² – k(2) + 8 = 0
4 – 2k + 8 = 0
12 – 2k = 0
2k = 12
k = 6
Jadi, nilai k adalah 6.
Contoh Soal Fungsi Kuadrat
Berikut adalah beberapa contoh soal fungsi kuadrat beserta penyelesaiannya:
Soal 1: Tentukan titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 5.
Penyelesaian:
Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat ditemukan menggunakan rumus:
Koordinat x dari titik puncak = -b / 2a
Koordinat y dari titik puncak = f(-b / 2a)
Dalam kasus ini, a = 1, b = -6, dan c = 5.
Koordinat x dari titik puncak = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3
Koordinat y dari titik puncak = f(3) = 3² – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4
Jadi, titik puncak dari fungsi kuadrat tersebut adalah (3, -4).
Soal 2: Tentukan persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat f(x) = -2x² + 8x – 3.
Penyelesaian:
Persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c adalah x = -b / 2a.
Dalam kasus ini, a = -2, b = 8, dan c = -3.
Persamaan sumbu simetri = -8 / (2 * -2) = -8 / -4 = 2
Jadi, persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat tersebut adalah x = 2.
Soal 3: Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2x² – 4x + 1. Tentukan nilai minimum atau maksimum fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Karena koefisien a (yaitu 2) positif, fungsi kuadrat ini memiliki nilai minimum. Nilai minimum ini sama dengan koordinat y dari titik puncak.
Koordinat x dari titik puncak = -b / 2a = -(-4) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1
Nilai minimum = f(1) = 2(1)² – 4(1) + 1 = 2 – 4 + 1 = -1
Jadi, nilai minimum dari fungsi kuadrat tersebut adalah -1.
Soal 4: Sebuah bola dilempar ke udara. Ketinggian bola (dalam meter) setelah t detik dinyatakan oleh fungsi h(t) = -5t² + 20t + 1. Tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.
Penyelesaian:
Fungsi ketinggian bola adalah fungsi kuadrat. Ketinggian maksimum dicapai pada titik puncak parabola.
Dalam kasus ini, a = -5, b = 20, dan c = 1.
Koordinat t dari titik puncak (waktu mencapai ketinggian maksimum) = -b / 2a = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2 detik.
Ketinggian maksimum = h(2) = -5(2)² + 20(2) + 1 = -5(4) + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21 meter.
Jadi, ketinggian maksimum yang dicapai bola adalah 21 meter.
Soal 5: Tentukan titik potong sumbu y dari fungsi kuadrat f(x) = 3x² + 2x – 4.
Penyelesaian:
Titik potong sumbu y terjadi ketika x = 0.
f(0) = 3(0)² + 2(0) – 4
f(0) = 0 + 0 – 4
f(0) = -4
Jadi, titik potong sumbu y dari fungsi kuadrat tersebut adalah (0, -4).
Kesimpulan
Memahami konsep persamaan dan fungsi kuadrat sangat penting dalam matematika. Dengan menguasai rumus-rumus dasar dan berlatih dengan berbagai jenis soal, siswa dapat menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dengan percaya diri. Penting untuk diingat bahwa praktik yang konsisten adalah kunci untuk menguasai materi ini.