Memahami Persamaan Linear 2 Variabel

Memahami Persamaan Linear 2 Variabel

Dalam matematika, persamaan linear dua variabel merupakan fondasi penting yang sering ditemui di berbagai jenjang pendidikan, terutama pada tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) kelas 10. Memahami konsep ini bukan hanya sekadar menghafal rumus, tetapi lebih kepada kemampuan menganalisis, memecahkan masalah, dan melihat keterkaitan antar dua kuantitas yang berubah secara bersamaan. Artikel ini akan mengupas tuntas tentang persamaan linear dua variabel, mulai dari definisi, bentuk umum, hingga berbagai metode penyelesaian yang disertai contoh soal yang mendalam untuk kelas 10.

1. Definisi dan Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah sebuah persamaan aljabar yang memiliki dua variabel berbeda, di mana setiap variabelnya berpangkat satu (tidak ada pangkat kuadrat, akar, atau variabel di dalam fungsi trigonometri, logaritma, dll.). Persamaan ini menggambarkan hubungan garis lurus ketika divisualisasikan dalam sistem koordinat Kartesius.

Bentuk umum dari persamaan linear dua variabel adalah:

Memahami Persamaan Linear 2 Variabel

$ax + by = c$

Di mana:

  • $x$ dan $y$ adalah variabel.
  • $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dengan syarat $a$ dan $b$ tidak boleh nol secara bersamaan (jika $a=0$ dan $b=0$, maka persamaan tersebut menjadi $0=c$, yang tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga solusi jika $c=0$).

Contoh:

  • $2x + 3y = 10$
  • $x – y = 5$
  • $4p + 2q = 8$

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Dalam banyak kasus, kita tidak hanya berhadapan dengan satu persamaan linear dua variabel, tetapi dengan dua atau lebih persamaan yang memiliki variabel yang sama. Kumpulan persamaan ini disebut Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Tujuan utama menyelesaikan SPLDV adalah untuk mencari nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut secara bersamaan.

Bentuk umum SPLDV adalah:

Persamaan 1: $a_1x + b_1y = c_1$
Persamaan 2: $a_2x + b_2y = c_2$

Di mana $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ adalah konstanta.

3. Metode Penyelesaian SPLDV

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV, di antaranya adalah:

  • Metode Substitusi
  • Metode Eliminasi
  • Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi)
  • Metode Grafik
  • Metode Determinan (Cramer)

Pada artikel ini, kita akan fokus pada metode yang paling umum dan fundamental untuk kelas 10, yaitu Substitusi, Eliminasi, dan Gabungan.

See also  Memahami Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

3.1. Metode Substitusi

Metode substitusi melibatkan penggantian (substitusi) salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih salah satu persamaan, kemudian ubah menjadi bentuk $x = dots$ atau $y = dots$.
  2. Substitusikan bentuk variabel tersebut ke persamaan lainnya.
  3. Selesaikan persamaan yang hanya memiliki satu variabel untuk mendapatkan nilainya.
  4. Substitusikan nilai variabel yang sudah didapat ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lain.

Contoh Soal 1 (Metode Substitusi):

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$x + 2y = 5$ (Persamaan 1)
$3x – y = 8$ (Persamaan 2)

Penyelesaian:

Langkah 1: Ubah salah satu persamaan.
Dari Persamaan 1, kita bisa ubah menjadi bentuk $x = dots$:
$x = 5 – 2y$

Langkah 2: Substitusikan bentuk $x$ ke Persamaan 2.
$3(5 – 2y) – y = 8$

Langkah 3: Selesaikan untuk $y$.
$15 – 6y – y = 8$
$15 – 7y = 8$
$-7y = 8 – 15$
$-7y = -7$
$y = frac-7-7$
$y = 1$

Langkah 4: Substitusikan nilai $y=1$ ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1).
$x + 2(1) = 5$
$x + 2 = 5$
$x = 5 – 2$
$x = 3$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (3, 1)$.

3.2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi bertujuan untuk menghilangkan salah satu variabel dengan menyamakan koefisien salah satu variabel pada kedua persamaan, lalu menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan tersebut. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Samakan koefisien salah satu variabel (misalnya $x$ atau $y$) dari kedua persamaan. Jika koefisiennya belum sama, kalikan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan tertentu.
  2. Jika tanda koefisien variabel yang ingin dieliminasi sama, kurangkan kedua persamaan. Jika tandanya berbeda, jumlahkan kedua persamaan.
  3. Selesaikan persamaan yang tersisa untuk mendapatkan nilai salah satu variabel.
  4. Ulangi langkah 1-3 untuk mencari nilai variabel yang lain, atau substitusikan nilai variabel yang sudah didapat ke salah satu persamaan awal.

Contoh Soal 2 (Metode Eliminasi):

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$2x + 3y = 12$ (Persamaan 1)
$x – y = 1$ (Persamaan 2)

Penyelesaian:

Langkah 1 & 2: Eliminasi variabel $y$.
Untuk mengeliminasi $y$, kita samakan koefisien $y$ pada kedua persamaan. Koefisien $y$ pada Persamaan 1 adalah 3, dan pada Persamaan 2 adalah -1. Kita bisa mengalikan Persamaan 2 dengan 3.

See also  Mari kita mulai membuat artikel yang Anda minta.

Persamaan 1: $2x + 3y = 12$
Persamaan 2 (dikali 3): $3(x – y) = 3(1) Rightarrow 3x – 3y = 3$

Karena tanda koefisien $y$ pada kedua persamaan berbeda (+3y dan -3y), maka kita jumlahkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) + (3x – 3y) = 12 + 3$
$2x + 3x + 3y – 3y = 15$
$5x = 15$

Langkah 3: Selesaikan untuk $x$.
$x = frac155$
$x = 3$

Langkah 4: Eliminasi variabel $x$ untuk mencari $y$ (atau substitusi).
Untuk mengeliminasi $x$, kita samakan koefisien $x$. Koefisien $x$ pada Persamaan 1 adalah 2, dan pada Persamaan 2 adalah 1. Kita bisa mengalikan Persamaan 2 dengan 2.

Persamaan 1: $2x + 3y = 12$
Persamaan 2 (dikali 2): $2(x – y) = 2(1) Rightarrow 2x – 2y = 2$

Karena tanda koefisien $x$ pada kedua persamaan sama (+2x dan +2x), maka kita kurangkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) – (2x – 2y) = 12 – 2$
$2x – 2x + 3y – (-2y) = 10$
$3y + 2y = 10$
$5y = 10$

Selesaikan untuk $y$:
$y = frac105$
$y = 2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (3, 2)$.

3.3. Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi)

Metode gabungan adalah kombinasi dari metode substitusi dan eliminasi. Biasanya, kita menggunakan metode eliminasi terlebih dahulu untuk mencari nilai salah satu variabel, kemudian menggunakan metode substitusi untuk mencari nilai variabel yang lainnya.

Contoh Soal 3 (Metode Gabungan):

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$4a – 2b = 10$ (Persamaan 1)
$2a + b = 7$ (Persamaan 2)

Penyelesaian:

Langkah 1 (Eliminasi): Eliminasi variabel $b$.
Samakan koefisien $b$. Koefisien $b$ pada Persamaan 1 adalah -2, dan pada Persamaan 2 adalah 1. Kalikan Persamaan 2 dengan 2.

Persamaan 1: $4a – 2b = 10$
Persamaan 2 (dikali 2): $2(2a + b) = 2(7) Rightarrow 4a + 2b = 14$

Karena tanda koefisien $b$ berbeda (-2b dan +2b), maka kita jumlahkan kedua persamaan:
$(4a – 2b) + (4a + 2b) = 10 + 14$
$8a = 24$
$a = frac248$
$a = 3$

Langkah 2 (Substitusi): Substitusikan nilai $a=3$ ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 2).
$2(3) + b = 7$
$6 + b = 7$
$b = 7 – 6$
$b = 1$

See also  Menguasai Konversi Huruf di Microsoft Word

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(a, b) = (3, 1)$.

4. Soal Cerita yang Melibatkan SPLDV

Salah satu aplikasi terpenting dari SPLDV adalah dalam menyelesaikan soal cerita yang melibatkan dua kuantitas yang saling berhubungan. Kunci utama dalam menyelesaikan soal cerita adalah menerjemahkan informasi yang diberikan ke dalam bentuk persamaan linear.

Contoh Soal 4 (Soal Cerita):

Di sebuah toko alat tulis, Ani membeli 2 buah buku tulis dan 1 buah pensil seharga Rp 7.000,00. Di toko yang sama, Budi membeli 1 buah buku tulis dan 3 buah pensil seharga Rp 9.000,00. Berapakah harga 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil?

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan variabel.
Misalkan:
Harga 1 buah buku tulis = $x$ rupiah
Harga 1 buah pensil = $y$ rupiah

Langkah 2: Terjemahkan soal ke dalam bentuk SPLDV.
Dari informasi Ani: 2 buah buku tulis + 1 buah pensil = Rp 7.000,00
Persamaan 1: $2x + y = 7000$

Dari informasi Budi: 1 buah buku tulis + 3 buah pensil = Rp 9.000,00
Persamaan 2: $x + 3y = 9000$

Langkah 3: Selesaikan SPLDV tersebut (misalnya dengan metode gabungan).
Eliminasi variabel $x$. Kalikan Persamaan 2 dengan 2.
Persamaan 1: $2x + y = 7000$
Persamaan 2 (dikali 2): $2(x + 3y) = 2(9000) Rightarrow 2x + 6y = 18000$

Karena tanda koefisien $x$ sama, kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2 yang sudah dikali 2:
$(2x + 6y) – (2x + y) = 18000 – 7000$
$5y = 11000$
$y = frac110005$
$y = 2200$

Substitusikan nilai $y=2200$ ke Persamaan 2:
$x + 3(2200) = 9000$
$x + 6600 = 9000$
$x = 9000 – 6600$
$x = 2400$

Langkah 4: Jawab pertanyaan.
Harga 1 buah buku tulis ($x$) adalah Rp 2.400,00.
Harga 1 buah pensil ($y$) adalah Rp 2.200,00.

Jadi, harga 1 buah buku tulis adalah Rp 2.400,00 dan harga 1 buah pensil adalah Rp 2.200,00.

5. Kesimpulan

Memahami persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel adalah keterampilan fundamental yang akan terus digunakan dalam berbagai cabang matematika dan sains. Dengan menguasai metode substitusi, eliminasi, dan gabungan, siswa kelas 10 dapat dengan percaya diri menyelesaikan berbagai soal, mulai dari yang bersifat teoritis hingga aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Latihan yang konsisten dengan berbagai variasi soal akan memperdalam pemahaman dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah.