Persamaan Lingkaran: Contoh Soal

Persamaan Lingkaran: Contoh Soal

Pendahuluan

Lingkaran adalah salah satu bangun datar fundamental dalam geometri yang memiliki karakteristik unik. Dalam matematika kelas 11 semester 2, pemahaman mendalam mengenai persamaan lingkaran menjadi krusial, karena konsep ini menjadi dasar bagi banyak topik lanjutan, termasuk dalam kalkulus dan fisika. Artikel ini akan mengupas tuntas berbagai contoh soal persamaan lingkaran, mulai dari bentuk standar hingga aplikasi yang lebih kompleks, dengan penjelasan yang rinci dan mudah dipahami. Kita akan membahas bagaimana menentukan persamaan lingkaran berdasarkan informasi yang diberikan, serta bagaimana menganalisis sifat-sifat lingkaran dari persamaannya.

1. Persamaan Lingkaran Berbentuk Standar

Persamaan lingkaran berbentuk standar adalah fondasi untuk memahami konsep persamaan lingkaran. Bentuk standar ini memberikan informasi langsung mengenai pusat dan jari-jari lingkaran.

Persamaan Lingkaran: Contoh Soal

  • Definisi: Persamaan lingkaran dengan pusat $(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:
    $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

    Jika pusat lingkaran berada di titik asal $(0, 0)$, maka persamaannya menjadi:
    $x^2 + y^2 = r^2$

  • Contoh Soal 1: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2, -3)$ dengan jari-jari 5 satuan.

    • Pembahasan:
      Diketahui pusat lingkaran $(h, k) = (2, -3)$ dan jari-jari $r = 5$.
      Menggunakan rumus persamaan lingkaran standar:
      $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
      Substitusikan nilai $h$, $k$, dan $r$:
      $(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 5^2$
      $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

      Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

  • Contoh Soal 2: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $(0, 0)$ dan melalui titik $(4, -3)$.

    • Pembahasan:
      Karena pusat lingkaran berada di titik asal, maka persamaannya adalah $x^2 + y^2 = r^2$.
      Lingkaran melalui titik $(4, -3)$, artinya titik ini memenuhi persamaan lingkaran. Kita bisa substitusikan koordinat titik ini untuk mencari nilai $r^2$.
      $4^2 + (-3)^2 = r^2$
      $16 + 9 = r^2$
      $25 = r^2$

      Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2 + y^2 = 25$. Jari-jarinya adalah $sqrt25 = 5$ satuan.

  • Contoh Soal 3: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $(x + 1)^2 + (y – 4)^2 = 16$.

    • Pembahasan:
      Bandingkan persamaan yang diberikan dengan bentuk standar $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$.
      Dari $(x + 1)^2$, kita dapatkan $x – h = x + 1$, sehingga $-h = 1$, atau $h = -1$.
      Dari $(y – 4)^2$, kita dapatkan $y – k = y – 4$, sehingga $-k = -4$, atau $k = 4$.
      Jadi, pusat lingkaran adalah $(-1, 4)$.

      Dari $r^2 = 16$, kita dapatkan $r = sqrt16 = 4$.
      Jadi, jari-jari lingkaran adalah 4 satuan.

2. Persamaan Lingkaran Bentuk Umum

Selain bentuk standar, persamaan lingkaran juga dapat disajikan dalam bentuk umum. Bentuk umum ini diperoleh dengan menjabarkan persamaan standar.

  • Definisi: Persamaan lingkaran dalam bentuk umum adalah:
    $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

    Dari bentuk umum ini, kita dapat menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan menggunakan rumus berikut:
    Pusat $(h, k) = (-fracA2, -fracB2)$
    Jari-jari $r = sqrt(fracA2)^2 + (fracB2)^2 – C$

  • Contoh Soal 4: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 11 = 0$.

    • Pembahasan:
      Bandingkan persamaan yang diberikan dengan bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
      Kita peroleh $A = -6$, $B = 8$, dan $C = -11$.

      Menentukan pusat:
      $h = -fracA2 = -frac-62 = frac62 = 3$
      $k = -fracB2 = -frac82 = -4$
      Jadi, pusat lingkaran adalah $(3, -4)$.

      Menentukan jari-jari:
      $r = sqrt(fracA2)^2 + (fracB2)^2 – C$
      $r = sqrt(-frac62)^2 + (frac82)^2 – (-11)$
      $r = sqrt(-3)^2 + (4)^2 + 11$
      $r = sqrt9 + 16 + 11$
      $r = sqrt36$
      $r = 6$
      Jadi, jari-jari lingkaran adalah 6 satuan.

  • Contoh Soal 5: Ubah persamaan lingkaran $(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$ ke dalam bentuk umum.

    • Pembahasan:
      Jabarkan persamaan standar yang diberikan:
      $(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$
      $(x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 9$
      $x^2 – 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 9$

      Gabungkan suku-suku yang sejenis dan pindahkan konstanta ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$:
      $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 9 + 4 – 9 = 0$
      $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 4 = 0$

      Jadi, persamaan lingkaran dalam bentuk umum adalah $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 4 = 0$.

See also  Menjelajahi Dunia Soal Kelas 4

3. Menentukan Persamaan Lingkaran Jika Diketahui Titik-Titik yang Dilalui

Salah satu jenis soal yang sering muncul adalah menentukan persamaan lingkaran ketika diketahui beberapa titik yang dilaluinya.

  • Contoh Soal 6: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A(1, 2)$, $B(-2, 1)$, dan $C(3, -4)$.

    • Pembahasan:
      Kita akan menggunakan bentuk umum persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
      Karena ketiga titik tersebut dilalui oleh lingkaran, maka koordinat masing-masing titik akan memenuhi persamaan tersebut.

      Substitusikan titik $A(1, 2)$:
      $1^2 + 2^2 + A(1) + B(2) + C = 0$
      $1 + 4 + A + 2B + C = 0$
      $A + 2B + C = -5$ (Persamaan 1)

      Substitusikan titik $B(-2, 1)$:
      $(-2)^2 + 1^2 + A(-2) + B(1) + C = 0$
      $4 + 1 – 2A + B + C = 0$
      $-2A + B + C = -5$ (Persamaan 2)

      Substitusikan titik $C(3, -4)$:
      $3^2 + (-4)^2 + A(3) + B(-4) + C = 0$
      $9 + 16 + 3A – 4B + C = 0$
      $3A – 4B + C = -25$ (Persamaan 3)

      Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear tiga variabel ($A$, $B$, $C$). Kita dapat menyelesaikannya.
      Eliminasi $C$ dari Persamaan 1 dan 2:
      $(A + 2B + C) – (-2A + B + C) = -5 – (-5)$
      $A + 2B + C + 2A – B – C = 0$
      $3A + B = 0$ (Persamaan 4)

      Eliminasi $C$ dari Persamaan 2 dan 3:
      $(-2A + B + C) – (3A – 4B + C) = -5 – (-25)$
      $-2A + B + C – 3A + 4B – C = 20$
      $-5A + 5B = 20$
      $-A + B = 4$ (Persamaan 5)

      Sekarang kita punya sistem persamaan dua variabel ($A$, $B$) dari Persamaan 4 dan 5.
      Dari Persamaan 4: $B = -3A$.
      Substitusikan ke Persamaan 5:
      $-A + (-3A) = 4$
      $-4A = 4$
      $A = -1$

      Substitusikan nilai $A = -1$ ke $B = -3A$:
      $B = -3(-1) = 3$

      Substitusikan nilai $A = -1$ dan $B = 3$ ke Persamaan 1 untuk mencari $C$:
      $(-1) + 2(3) + C = -5$
      $-1 + 6 + C = -5$
      $5 + C = -5$
      $C = -10$

      Jadi, $A = -1$, $B = 3$, dan $C = -10$.
      Persamaan lingkaran dalam bentuk umum adalah $x^2 + y^2 – x + 3y – 10 = 0$.

See also  I. Pendahuluan

4. Posisi Titik Terhadap Lingkaran

Memahami posisi suatu titik terhadap lingkaran sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai soal geometri.

  • Definisi: Diberikan persamaan lingkaran $L: (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ atau $L: x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Untuk suatu titik $P(x_1, y_1)$:

    • Jika $(x_1 – h)^2 + (y_1 – k)^2 > r^2$ (atau $x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C > 0$), maka titik $P$ berada di luar lingkaran.
    • Jika $(x_1 – h)^2 + (y_1 – k)^2 = r^2$ (atau $x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C = 0$), maka titik $P$ berada tepat pada lingkaran (di tepi).
    • Jika $(x_1 – h)^2 + (y_1 – k)^2 < r^2$ (atau $x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C < 0$), maka titik $P$ berada di dalam lingkaran.

  • Contoh Soal 7: Tentukan posisi titik $A(5, 1)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 – 2x + 4y – 11 = 0$.

    • Pembahasan:
      Persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 – 2x + 4y – 11 = 0$.
      Titik yang akan diperiksa adalah $A(5, 1)$.
      Substitusikan koordinat titik $A$ ke dalam persamaan lingkaran:
      $5^2 + 1^2 – 2(5) + 4(1) – 11$
      $= 25 + 1 – 10 + 4 – 11$
      $= 26 – 10 + 4 – 11$
      $= 16 + 4 – 11$
      $= 20 – 11$
      $= 9$

      Karena hasil substitusi (9) lebih besar dari 0, maka titik $A(5, 1)$ berada di luar lingkaran.

  • Contoh Soal 8: Tentukan apakah titik $P(1, 1)$ berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5$.

    • Pembahasan:
      Persamaan lingkaran adalah $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5$.
      Titik yang akan diperiksa adalah $P(1, 1)$.
      Substitusikan koordinat titik $P$ ke dalam ruas kiri persamaan lingkaran:
      $(1 – 2)^2 + (1 – 3)^2$
      $= (-1)^2 + (-2)^2$
      $= 1 + 4$
      $= 5$

      Karena hasil substitusi (5) sama dengan nilai ruas kanan persamaan lingkaran (5), maka titik $P(1, 1)$ berada tepat pada lingkaran.

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang hanya menyentuh lingkaran pada satu titik. Menentukan persamaan garis singgung memerlukan pemahaman tentang gradien dan hubungan tegak lurus antara jari-jari dan garis singgung di titik singgung.

  • Contoh Soal 9: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$.

    • Pembahasan:
      Persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 = 25$. Pusatnya di $(0, 0)$ dan jari-jarinya 5. Titik singgungnya adalah $(3, 4)$.
      Cara 1: Menggunakan rumus cepat
      Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x_1x + y_1y = r^2$.
      Substitusikan $(x_1, y_1) = (3, 4)$ dan $r^2 = 25$:
      $3x + 4y = 25$

      Cara 2: Menggunakan gradien
      Gradien jari-jari yang menghubungkan pusat $(0, 0)$ ke titik singgung $(3, 4)$ adalah $mjari-jari = frac4 – 03 – 0 = frac43$.
      Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung. Maka, gradien garis singgung adalah kebalikan negatif dari gradien jari-jari:
      $m      singgung = -frac1m_jari-jari = -frac14/3 = -frac34$.
      Menggunakan rumus persamaan garis dengan gradien $m$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$: $y – y_1 = m(x – x_1)$.
      $y – 4 = -frac34(x – 3)$
      $4(y – 4) = -3(x – 3)$
      $4y – 16 = -3x + 9$
      $3x + 4y = 9 + 16$
      $3x + 4y = 25$

      Kedua cara menghasilkan persamaan garis singgung yang sama: $3x + 4y = 25$.

  • Contoh Soal 10: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 10$ yang bergradien 3.

    • Pembahasan:
      Lingkaran berpusat di $(h, k) = (1, 2)$ dan $r^2 = 10$. Gradien garis singgung $m = 3$.
      Rumus persamaan garis singgung lingkaran $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:
      $y – k = m(x – h) pm r sqrtm^2 + 1$

      Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
      $y – 2 = 3(x – 1) pm sqrt10 sqrt3^2 + 1$
      $y – 2 = 3x – 3 pm sqrt10 sqrt9 + 1$
      $y – 2 = 3x – 3 pm sqrt10 sqrt10$
      $y – 2 = 3x – 3 pm 10$

      Ada dua kemungkinan garis singgung:
      Kasus 1: $y – 2 = 3x – 3 + 10$
      $y – 2 = 3x + 7$
      $y = 3x + 9$
      Atau dalam bentuk umum: $3x – y + 9 = 0$.

      Kasus 2: $y – 2 = 3x – 3 – 10$
      $y – 2 = 3x – 13$
      $y = 3x – 11$
      Atau dalam bentuk umum: $3x – y – 11 = 0$.

      Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang bergradien 3, yaitu $3x – y + 9 = 0$ dan $3x – y – 11 = 0$.

See also  Mencari Soal Ukk IPS Kelas 3 SD Semester Genap: Panduan Lengkap dan Bank Soal

Kesimpulan

Memahami berbagai bentuk persamaan lingkaran, cara menentukan pusat dan jari-jari, serta bagaimana menganalisis posisi titik terhadap lingkaran dan menemukan persamaan garis singgungnya adalah kunci sukses dalam mempelajari topik ini. Dengan berlatih berbagai contoh soal seperti yang telah dibahas, siswa akan lebih siap menghadapi berbagai tantangan dalam ujian maupun dalam penerapan konsep lingkaran pada masalah-masalah nyata. Teruslah berlatih dan eksplorasi lebih lanjut untuk menguasai materi persamaan lingkaran ini.